*** Création d'un logo

Une entreprise souhaite créer le logo suivant sur la façade d'un mur de son bâtiment.

Le gérant souhaite savoir combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre ce logo. On modélise le logo par la figure suivante.

\(\mathscr{C}\) est un demi-cercle de diamètre \([\text{AB}]\) tel que \(\text{AB}=10\) mètres.
\(\text{G}\) est le milieu de \([\text{AB}]\).
\(\text{C}\) est le point de \(\mathscr{C}\) tel que \(\widehat{\text{BAC}}=58^\text{o}\) et \(\text{AC}=5{,}3\) m.
\(\text{F}\) est le projeté orthogonal de \(\text{C}\) sur la droite \((\text{AB})\).

1. a. Calculer les longueurs \(\text{AF}\) et \(\text{FC}\).
    b. En déduire l'aire \(\mathcal{A}_1\)du triangle \(\text{AFC}\).

2. \(\text{E}\) est le point du segment \([\text{AB}]\) tel que \(\text{BE}=1\) m. Calculer l'aire \(\mathcal{A}_2\)du triangle \(\text{EGC}\).

3. Un pot de 1 litre de peinture bleue permet de peindre 10 m². Combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre le logo ?

4. Afin que le logo soit harmonieux, l'angle \(\beta = \widehat{\text{GEC}}\) doit être compris entre \(36^\text{o}\) et \(37^\text{o}\). Cette contrainte est-elle respectée ?